§ 34. Es ist schon im § 25 darauf hingewiesen worden, dass man statt der Functionen zweiter Stufe im weitern Fortgange Functionen erster Stufe verwenden kann. Dies soll nun gezeigt werden. Wie dort angedeutet worden, wird dies dadurch möglich, dass die Functionen, die als Argumente der Function zweiter Stufe erscheinen, durch ihre Werthverläufe vertreten werden, natürlich nicht so, dass sie diesen einfach ihre Stelle einräumen; denn das ist unmöglich. Es handelt sich zunächst nur darum, den Werth der Function Φ(ξ) für das Argument Δ, also Φ(Δ) mittels ‚Δ‘und Ersetzung von - und und - durch - und - [Fehlertyp: logic]^# zu bezeichnen. Ich mache dies so:

,

was gleichbedeutend mit ‚Φ(Δ)‘ sein soll. Der Gegenstand Φ(Δ) erscheint also als Werth der Function ξ◠ζ mit zwei Argumenten für Δ als ξ-Argument und als ζ-Argument. Es muss nun aber ξ◠ζ für alle
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möglichen Gegenstände als Argumente erklärt werden. Dies kann so geschehn: Da hier eine Function mit zwei Argumenten definirt wird, kommen zwei lateinische Buchstaben links und rechts vor. Obwohl der erklärende Ausdruck nur bekannte Bezeichnungen enthält, mögen einige Erläuterungen nicht überflüssig sein. Wir haben links eine lateinische Marke, die aus dem Eigennamen dadurch hervorgeht, dass ‚Θ‘ durch ‚a‘ und ‚Γ‘ durch u ersetzt werden. Dieser Eigenname hat die Form von . Es sind dabei nach § 11 zwei Fälle zu unterscheiden, jenachdem sich ein Gegenstand Δ angeben lässt, der als einziger unter den Begriff —Φ(ξ) fällt, oder nicht. Im ersten Falle ist Δ selbst . Auf unsern Fall angewendet, heisst dies, wenn es einen Gegenstand Δ giebt, so dass das Wahre ist, während die Function für alle von Δ verschiedenen Argumente das Falsche als Werth hat, so ist Δ selbst . Nun ist das Wahre, wenn es eine Function erster Stufe eines Arguments giebt, deren Werth für das Argument Θ Δ ist und deren Werthverlauf Γ ist. Sonst ist das Falsche. Nehmen wir an, Γ sei ein Werthverlauf, so ist durch Γ bestimmt, welchen Werth eine Function, deren Werthverlauf Γ ist, für das Argument Θ hat. Es giebt dann immer einen solchen Werth und nur einen einzigen und dieser Werth ist oder Θ◠Γ. Wenn aber Γ gar kein Werthverlauf ist, so hat die Function für jedes Argument das Falsche als Werth, und dann ist unsere Festsetzung heranzuziehn, dass ‚\Λ‘ Λ selbst bedeuten soll, wenn es keinen Gegenstand Λ der Art giebt, dass Λ der Werthverlauf ist. Demnach bedeutet ‚Θ◠Γ‘, wenn Γ kein Werthverlauf ist, den Werthverlauf einer Function, deren Werth für jedes Argument das Falsche ist, also .  Fassen wir Alles zusammen, so müssen zwei Fälle unterschieden werden, wenn der Werth der Function ξ◠ζ bestimmt werden soll. Wenn das ζ-Argument ein Werthverlauf ist, so ist der Werth der Function ξ◠ζ der Werth einer Ersetzung von - der - durch - einer - [Fehlertyp: logic | Rev.: thiel]^# Function, deren Werthverlauf das ζ-Argument ist, für das ξ-Argument als Argument. Wenn dagegen das ζ-Argument kein Werthverlauf ist, so ist der Werth der Function ξ◠ζ für jedes ξ-Argument .