§ 11. In der That bedürfen wir noch
solcher Functionen. Wenn sich die Gleichsetzung von mit
‚Δ‘ allgemein hätte aufrecht
erhalten lassen,
so hätten wir in der Form
einen Ersatz für den
Seite
19
bestimmten Artikel der Sprache. Angenommen nämlich, es wäre
Φ(ξ) ein Begriff, unter den der
Gegenstand Δ und nur dieser fiele,
so wäre
das Wahre und mithin wäre auch
das Wahre und zufolge unserer Gleichsetzung von und
‚Δ‘ wäre
dasselbe wie Δ; d. h. in dem Falle,
dass Φ(ξ) ein Begriff ist, unter
den ein und nur ein Gegenstand fällt, bezeichnete
diesen Gegenstand. Dies ist nun freilich nicht möglich, weil jene
Gleichsetzung in ihrer Allgemeinheit fallen gelassen werden
musste; aber wir können uns helfen, indem wir die Function
mit der Bestimmung einführen, dass zwei Fälle
unterschieden werden:
- 1)wenn es zu dem
Argumente einen Gegenstand Δ der
Art giebt, dass
das Argument ist, so sei der Werth der Function \ξ
Δ selbst;
- 2)wenn es zu dem
Argumente keinen Gegenstand Δ der
Art giebt, dass
das Argument ist, so sei das Argument selbst der Werth der
Function \ξ.
Danach ist das
Wahre, und es bedeutet
dann den unter den Begriff Φ(ξ)
fallenden Gegenstand, wenn Φ(ξ) ein
Begriff ist, unter den ein und nur ein Gegenstand fällt; in allen
andern Fällen bedeutet
dasselbe wie .
So ist z. B.
das Wahre, weil 2 der einzige
Gegenstand ist, der unter den Begriff
- was
um 3 vermehrt 5
ergiebt
fällt — eine geeignete Definition des Pluszeichens dabei
vorausgesetzt —. Es ist
das Wahre, weil unter den Begriff Quadratwurzel aus l nicht nur ein einziger
Gegenstand fällt. Es ist
das Wahre, weil unter den Begriff sich
selbst ungleich kein Gegenstand fällt. Es ist ,
weil die Function ξ+3 kein Begriff
ist. Hierin haben wir einen Ersatz
für den bestimmten Artikel der Sprache, der dazu dient, aus
Begriffswörtern Eigennamen zu bilden. Wir bilden z. B. aus den
Worten
- ‚positive Quadratwurzel aus
2‘,
die einen Begriff bedeuten, den Eigennamen
- ‚die positive Quadratwurzel aus
2‘.
Hier ist eine logische Gefahr. Denn wenn wir aus den Worten
‚Quadratwurzel aus 2‘ den Eigennamen ‚die Quadratwurzel aus
2‘ bilden wollten, begingen wir
einen logischen Fehler, weil dieser Eigenname ohne weitere
Festsetzung zweideutig
und eben darum bedeutungslos wäre. Wenn es keine Irrationalzahlen
gäbe, was ja behauptet worden ist, so wäre auch der Eigenname
‚die positive Quadratwurzel aus 2‘ bedeutungslos,
wenigstens
Seite
20
dem unmittelbaren Wortsinne nach, ohne besondere Festsetzung. Und
gäben wir diesem Eigennamen eigens eine Bedeutung, so hätte diese
keinen Zusammenhang mit seiner Bildung, und es dürfte nicht
geschlossen werden, dass sie eine positive Quadratwurzel aus
2 wäre, und doch wären wir nur zu
geneigt, das zu folgern. Diese Gefahr des bestimmten Artikels ist
hier nun ganz vermieden, da
immer eine Bedeutung hat, mag nun die Function Φ(ξ) kein Begriff sein, oder ein Begriff, unter
den mehr als ein oder kein Gegenstand fällt, oder mag sie ein
Begriff sein, unter den ein und nur ein Gegenstand fällt.
2 Vergl. Anm. 1.
1 Ich nehme dabei als zugestanden an,
dass es negative und irrationale Zahlen gebe.