Quelle Nummer 436
Rubrik 28 : TECHNIK Unterrubrik 28.01 : BUECHER
SCHWINGUNGEN
HEINZ HOUBEN
ERZWUNGENE UND FREIE DREHSCHWINGUNGEN SOWIE IHRE IN-
STABILITAETEN ERSTER UND ZWEITER ART IN MASCHINEN-
SAETZEN MIT ANTREIBENDEM ASYNCHRONMOTOR
VDI-Z, ZEITSCHRIFT FUER DIE GESAMTE TECHNIK, REIHE 9
NR. 8, VDI-VERLAG, DUESSELDORF 1970, S.7-
001 Einleitung. Die Untersuchung des
002 Drehschwingungsverhaltens der angesprochenen Klasse
003 schwingungsfähiger rheolinearer Systeme bleibt meistens auf die
004 Untersuchung des verkürzten Gleichungssystems beschränkt.
005 Vielfach ist dabei auch die Antriebsmaschine aus den Betrachtungen
006 ausgeklammert. Zwischen der weitgehend durchgearbeiteten Theorie
007 der elastischen Bewegung rheolinearer Systeme und ihrer praktischen
008 Anwendung klafft eine Lücke, die durch den erforderlichen sehr
009 großen numerischen Rechenaufwand bedingt ist. So ist auch in[
010 2 ]die theoretische Ermittlung der Grenzen für die
011 Resonanzbereiche erster Art für beliebige Kurbeltriebwerke
012 ausgeführt; eine praktische Rechnung konnte aber nur für ein
013 Einzylindertriebwerk durchgeführt werden. Ferner ist nicht auf
014 die Resonanzen zweiter Art eingegangen, die bei den untersuchten
015 Systemen auftreten. Die erforderliche sehr umfangreiche numerische
016 Rechnung zur Bestimmung der Resonanzbereiche zweiter Art ist in
017 [4 ]angesprochen. Dort wird schließlich auf das von Grammel
018 vorgeschlagene Näherungsverfahren zurückgegriffen, die
019 Koeffizienten der Bewegungsgleichungen durch ihre zeitlichen
020 Mittelwerte zu ersetzen. Selbst bei der Berechnung der
021 Bereichsgrenzen eines Systems mit nur einem Freiheitsgrad sind die
022 Näherungen vielfach grob oder es wird versucht, die
023 Bewegungsgleichung auf eine Mathieusche Differentialgleichung -
024 den Sonderfall der Hillschen Differentialgleichung -
025 zurückzuführen. Die Grenzkurven der Mathieuschen
026 Differentialgleichung sind bekannt, wie auch für einige spezielle
027 Hillsche Differentialgleichungen inzwischen Grenzkurven berechnet
028 wurden. In der vorliegenden Arbeit soll mit Hilfe der inzwischen
029 zur Verfügung stehenden schnellen Datenverarbeitungsanlagen
030 großer Speicherkapazität die Beschränkung auf Näherungen
031 niedriger Ordnung fallen, ebenso sollen Systeme mit mehreren
032 Freiheitsgraden explizit behandelt werden. Dabei erfolgt die
033 Behandlung in erster Linie numerisch, da eine analoge Lösung
034 dieser Aufgabe wegen der Rechenkapazität der Analogrechner auf
035 Systeme mit wenigen Freiheitsgraden beschränkt bleiben muß.
036 Lösungsverfahren mit Analogrechnern sind in[ 7 ]beschrieben.
037 Ein Vergleich der Genauigkeit analoger und digitaler Verfahren
038 kann bei Houben nachgelesen werden. Schließlich kann das
039 Schwingungsverhalten eines Systems nur dann hinreichend genau
040 angegeben werden, wenn die Antriebsmaschinen mit in die
041 Betrachtung eingeschlossen wird. Für lineare Systeme mit
042 konstanten Koeffizienten ist das geschehen. Bei der folgenden
043 Untersuchung rheolinearer Systeme erweist sich dies als
044 unumgänglich notwendig. Wenn hier nur der Asynchronmotor als
045 Antriebsmaschine behandelt wird, so sei doch schon in der
046 Einleitung darauf hingewiesen, daß jegliche Art elektrischer
047 Antriebe das Schwingungsverhalten weitgehend beeinflußen kann.
048 Dies wurde u.a. bei der Untersuchung einer rotierenden
049 Säge am Ausgang eines Streck-Reduzier-Walzwerkes
050 erkannt. Die Drehzahl des Parallel-Kurbeltriebs, dessen
051 Koppel die Säge trägt, ist während eines Umlaufes von einem
052 Modellantrieb gesteuert. Drehschwingungen in den Antriebswellen,
053 die sich auch dem Anker der antreibenden Gleichstrommaschine
054 mitteilten, beeinflußten die Differenz zwischen Sollwert
055 und Istwert der Regelstrecke derart, daß von einer bestimmten
056 P-Verstärkung an Selbsterregung der Drehschwingungen zu
057 beobachten war. Die Differentialgleichungen der
058 Schwingungen. Alle Massen und Federsteifigkeiten seien auf
059 eine charakteristische Drehzahl bezogen. Der Index 1 bezeichne
060 die Antriebsmaschine, die über ein Übersetzungsgetriebe
061 oder Untersetzungsgetriebe mit der Maschine gekoppelt sei.
062 Dann wirkt an dieser Stelle das reduzierte Motormoment (Formel), und
063 an der Masse i greife das äußere Moment (Formel) an. Mit I sei das
064 Verhältnis von Antriebswinkelgeschwindigkeit zu
065 Abtriebswinkelgeschwindigkeit am Getriebe zwischen Motor und
066 Maschine bezeichnet. Das allgemeine System der
067 Bewegungsgleichungen für die Schwingungskette lautet (Formel) und (Formel).
068 Darin sind die (Formel) und (Formel) i.a. periodisch veränderlich.
069 Nun sind mehrere Stufen der Lösung dieses Gleichungssystems
070 möglich: Die einfachste Stufe beschränkt sich auf die
071 Untersuchung der dem Motor nachgeschalteten Schwingungskette.
072 Der Antriebsmotor wird nicht in die Rechnung mit einbezogen.
073 Hierbei werden die Bewegungsgleichungen so aufgestellt, als ob der
074 Motoranker ein unendlich großes Massenträgheitsmoment habe, wie
075 sich ja aus der dann notwendigen Folgerung ergibt, daß die
076 Drehzahl des Antriebes zeitlich nicht veränderlich ist, also
077 keinerlei Rückwirkungen von der Maschine auf den antreibenden
078 Motor ausgeübt werden. Das System ist dann völlig durch Gl.
079 (1) beschrieben. Gl. (2) verschwindet. die zweite
080 Näherung könnte die stationäre Kennlinie der antreibenden
081 Maschine mit in die Rechnung einbeziehen. Die Bewegungen werden
082 dann durch die Gln. (1) und (2) beschrieben. Hinzu käme
083 eine Beziehung für das Moment (Formel), die im Falle des Antriebs
084 durch einen Asynchronmotor durch (Formel) gegeben ist, wenn man die
085 Kennlinie durch eine Gerade annähert. Der dritte Schritt
086 bezieht die Gleichungen für die elektrischen Ausgleichsvorgänge
087 in Asynchronmaschinen in die Rechnung mit ein. Dem
088 Asynchronmotor wird neben einem konstanten Abtriebsmoment noch ein
089 weiteres, diesem überlagertes zeitlich veränderliches Moment
090 abverlangt. Hierin sind wieder zwei Stufen möglich:
091 Die Maschine arbeitet leistungsfrei, der Mittelwert des zeitlich
092 abgenommenen Momentes ist Null oder dieser Mittelwert ist von
093 Null verschieden. Als letztes fällt bei dieser
094 Untersuchung nebenbei noch das genaue Drehzahlverhalten der
095 Maschinenanlage an, denn die Bewegungsdifferentialgleichungen
096 enthalten auch den Sonderfall mit starren Getriebewellen. Alle
097 diese Möglichkeiten der theoretischen Behandlung des vorliegenden
098 Problems sollen im folgenden unter der erheblich erschwerenden
099 Voraussetzung zeitlich veränderlicher Koeffizienten in diesem
100 Gleichungssystem erörtert und miteinander verglichen werden. Es
101 wird dabei geprüft, ob wirklich der unter beschriebene
102 allgemeinste Fall zu untersuchen ist, um das Schwingungsverhalten
103 hinreichend genau beschreiben zu können. Die bekannten
104 Lösungsansätze für Hillsche Differentialgleichungen -
105 Fourierreihen, solange es sich um die Berechnung der
106 Stabilitätsbereiche erster Art ganzer und halber Ordnung handelt
107 - verlangen bei der praktischen Rechnung ein Abbrechen dieser
108 Reihen nach einer endlichen Anzahl von Gliedern. Daher soll die
109 folgende Untersuchung ebenfalls klären, wieviele Glieder für
110 eine Ingenieurrechnung mitzunehmen sind. Es zeigt sich, daß es
111 im allgemeinen nicht nötig sein wird, vier oder mehr Harmonische
112 zu berücksichtigen. Im folgenden Absatz sollen noch die
113 Gleichungen des elektrischen Teils der Anlage für die
114 Rechenschritte und zusammengestellt werden: Der
115 Asynchronmotor als Antriebsmaschine. Das Ersatzschaltbild der
116 Asychronmaschine ist in Bild 5 (Abb.) gezeigt. Mit den vorne
117 aufgeführten Bezeichnungen lauten die Gleichungen für die
118 elektrischen Größen (Formel). Daraus folgt das für Gl. (2)
119 erforderliche elektrische Moment (Formel). (Formel) ist das Motormoment,
120 Während (Formel) (math.Op.) (Formel) ist. Nach Einsetzen von Gl. (4) in Gl.
121 (3) lauten diese Gleichungen: (Formel). Die Gl. (3)
122 gelten unter folgenden einschränkenden Voraussetzungen: Die
123 Maschine ist symmetrisch in Bezug auf die 3 Phasen aufgebaut.
124 Die Magnetisierungskurve des Eisens sei eine Gerade
125 (Eisenverluste werden vernachlässigt). Die Maschine habe
126 einen Zylinderläufer, und die Erregungen sind am Umfang
127 sinusförmig verteilt, d. h. die räumlichen Oberharmonischen
128 werden vernachlässigt. Die an den Ständer angelegte
129 Netzspannung sei eine symmetrische, mitlaufende Dreiphasenspannung
130 mit genau konstanter Amplitude und Frequenz. Die in den Formeln
131 (3) und (2b) vorkommenden beiden Vektoren müssen auf das
132 gleiche Koordinatensystem bezogen werden. Gl. (3) und (2b)
133 sind für zweipolige Maschinen gültig; im Falle von Maschinen
134 mit mehreren Polpaaren sind sie noch mit der Zahl der Polpaare zu
135 multiplizieren. Damit und mit den Definitionen für Schlupf und
136 Kippschlupf und weiter mit (Formel) (math.Op.) O (Kurzschlußläufer) lauten
137 die Gln. (3a): (Formel). Es sollen nun folgende Beziehungen
138 gelten: Die Winkelgeschwindigkeit der Arbeitsmaschine ist (Formel)
139 Weiter seien (Formel). Die Trennung des konstanten und des zeitlich
140 veränderlichen Anteils der Flußverkettungen führt für den
141 veränderlichen Anteil auf (Formel). Ebenso folgt der veränderliche
142 Teil des Motormomentes zu (Formel). Im allgemeinen kann noch der
143 Ständerwirkwiderstand vernachlässigt werden. Es ist also (Formel) (math.Op.)
144 O D.h.: im folgenden ist (Formel) (math.Op.) O. Dann vereinfachen
145 sich die Gln. (3c) noch weiter. Erzwungene
146 Schwingungen und Instabilität erster Art der freien Schwingung
147 Der Vergleich der angedeuteten Berechnungsverfahren soll an
148 dem in Bild 6 skizzierten Maschinensatz als Beispiel (Abb.)
149 gezeigt werden, und für die Entwicklung der Bewegungsgleichungen
150 werden zweckmäßigerweise die Lagrangeschen
151 Differentialgleichungen 2.Art herangezogen. Es sei hier noch
152 bemerkt, daß als Untersetzungsgetriebe Zahnradgetriebe zugelassen
153 seien. Alle Antriebswinkelgeschwindigkeiten der
154 Verabeitungsmaschine seien durch entsprechend gestufte Getriebe
155 erzielt. Dabei soll die Masse des Zwischengetriebes wie die
156 Masse des Motorankers auf die Eingangsdrehzahl der angetriebenen
157 Maschine reduziert sein. Die Anwendung der Lagrangeschen
158 Differentialgleichungen zweiter Art ist damit zulässig, da es
159 sich so um ein holonomes Problem handelt. Wäre ein stufenlos
160 einstellbares Getriebe zwischengeschaltet, das auch noch im
161 Betrieb verstellt werden soll, so läge mit (Formel) ein nicht-
162 holonomes Problem vor, so daß die Anwendung der Lagrangeschen
163 Gleichungen zweiter Art nicht zulässig wäre. Diese
164 Problemstellung sei hier ausgeklammert. Die Arbeitsmaschine sei
165 ein Viergelenkgetriebe (Verpackungsmaschine, Kolbenmaschine),
166 wie es in Bild 7 mit folgenden Bezeichnungen dargestellt
167 ist: (Formel) Antriebsglied 1 * (Formel) Abtriebsglied 3 * (Formel) Koppel
168 2 * (Formel) Steg (Formel) Schwerpunkte (Der Index mit Stern
169 unterscheidet die Numerierung des Getriebes von der Numerierung
170 des Schwingungssystems). *ya Antriebswinkel *yb Abtriebswinkel
171 *yg Koppelwinkel. Die Gesamtenergie einer solchen Maschine,
172 die auf die Welle mit der Federsteifigkeit (Formel) reduziert sei,
173 setzt sich aus der kinetischen Ernergie (Formel) und der potentiellen
174 Energie oder Federenergie U zusammen. Es seien nur
175 schnellaufende Maschinen untersucht, daher ist das Gewicht
176 vernachlässigt. (Formel) (Formel) ist das auf (Formel) reduzierte
177 Massenträgheitsmoment des periodisch übersetzten Getriebes. Aus
178 diesen Energien und mit Hilfe der oben erwähnten Lagrangeschen
179 Differentialgleichungen zweiter Art erhält man schließlich bei
180 Berücksichtigung auch der Materialdämpfung unter Einführung
181 einer Dissipationsfunktion die Bewegungsgleichungen. Unter
182 Berücksichtigung der geschwindigkeitsproportional angenommenen
183 Materialdämpfung und mit (Formel) lauten diese (Formel). Lösung
184 der Schwingungsgleichungen ohne Berücksichtigung der
185 Antriebsmaschine. In diesem Falle wird (Formel) und Gl. (7)
186 verschwindet. Die beschreibende Bewegungsdifferentialgleichung
187 lautet somit (Formel). Bei dem üblichen Lösungsansatz zerfällt
188 das daraus entstehende Gleichungssystem in die beiden Teile für
189 Resonanzen ganzer und halber Ordnung erster Art. *yr lautet:
190 (Formel) Darin ist (Formel) der sog. charakteristische Exponent der
191 Lösung. Er beschreibt die drei möglichen Lösungen: (Formel)
192 die Amplitude der Lösung (Formel) nimmt mit der Zeit ab, d.h.
193 die Lösung ist stabil (Formel) die Lösung ist periodisch (Formel)
194 die Amplitude der Schwingung nimmt mit der Zeit zu, die Lösung
195 ist dynamisch instabil. Hier beschreibt gerade der zweite Fall
196 (Formel), die Grenze zwischen stabilem und instabilem Verhalten der
197 Schwingung. Nach dem Floquetschen Theorem nimmt die Lösung (Formel)
198 nach jeder Periode T des periodischen Koeffizienten von (Formel) den 6
199 -fachen Betrag an, nach p Perioden ist also (Formel). Daraus
200 folgen die Werte für *ym auf den Grenzen zwischen stabilem und
201 instabilem Verhalten zu (Formel). Führt man nun für die
202 Koeffizienten und die rechte Seite der Differentialgleichungen
203 ebenfalls Fourier-Reihen ein, mit (Formel) und (Formel), so lautet Gl.
204 (6a): (Formel). Diese Gl. (6b) wird durch (Formel) dividiert.
205 Wie leicht nachzuprüfen ist, können die Doppelsummen in der
206 Form (Formel) und (Formel) geschrieben werden. Damit hat Gl. (6b) die
207 Form (Formel). Man erkennt sofort, daß dieses Gleichungssystem in
208 zwei Teilsysteme zerfällt. Für (Formel) und (Formel) entsteht ein
209 inhomogenes Gleichungssystem mit ganzzahligen Potenzen von e
210 auf beiden Gleichungsseiten. Da die e-Funktionen nicht
211 identisch verschwinden, ist als Lösungsbedingung zu fordern, daß
212 die Koeffizienten aller Potenzen von e zu Null werden. Das
213 inhomogene Gleichungssystem hat also - wie leicht durch
214 Koeffizientenvergleich der beiden Seiten festzustellen ist - die
215 Gestalt (Formel) usw.. Eine Änderung von (Formel) macht sich also
216 lediglich in einer Verschiebung der rechten Gleichungsseite
217 bemerkbar. Für (Formel) und (Formel) erhält man auf der linken
218 Gleichungsseite ganzzahlige Potenzen von e, während rechts nur
219 gebrochene Potenzen von e auftreten. Der Koeffizientenvergleich
220 liefert also ein homogenes Gleichungssystem für die (Formel).
221 Dieses Ergebnis war von vornherein zu erwarten. Für die (Formel)
222 existiert ein inhomogenes Gleichungssystem, das die erzwungenen
223 Schwingungsamplituden und die Resonanzbereiche erster Art ganzer
224 Ordnung zu berechnen gestattet. Die (Formel) führen auf ein homogenes
225 Gleichungssystem zur Berechnung der Instabilitätsbereiche erster
226 Art halber Ordnung. Dort tritt keine erzwungene Vergrößerung
227 der Ausschläge auf. Lediglich die Eigenschwingung geht dort
228 gegen Unendlich. Die Eigenform ist aber nur - bei Kenntnis des
229 charakteristischen Exponenten *ym - bis auf einen konstanten
230 Faktor zu berechnen. Die Bereiche halber Ordnung können also
231 nur ihrer Lage nach angegeben werden. Die Amplitudenfunktion der
232 erzwungenen Schwingung im ganzen Frequenzbereich ist durch das
233 inhomogene Gleichungssystem gegeben. Das verkürzte inhomogene
234 System liefert darüberhinaus - wie oben schon erwähnt - als
235 Nullstellen der Nennerdeterminante die Grenzen der
236 Instabilitätsbereiche erster Art ganzer Ordnung. Wesentlich
237 erscheint an dieser Stelle noch, daß der zur Lösung zu nehmende
238 Ausschnitt aus dem unendlichen Gleichungssystem auch für die
239 Berechnung der durch höhere Harmonische verursachten
240 Schwingungsamplituden nicht entsprechend der Ordnung der
241 Harmonischen anwachsen muß. Durch die Wahl des Exponenten (Formel)
242 wird die rechte Gleichungsseite verschoben, bis die erregende
243 Harmonische in den gewählten Ausschnitt fällt. Der bisher
244 geschilderte Zerfall des Gleichungssystems gilt auch für
245 gekoppelte Hillsche Differentialgleichungen, da dort die
246 charakteristischen Exponenten der einzelnen Lösungen einander
247 gleichgesetzt werden können, wie in[ 8 ]gezeigt wird.
248 Weiter seien jetzt die Stabilitätsgrenzen und
249 Amplitudenfunktionen unter der Annahme (Formel) = konst. berechnet.
250 Es soll leistungsloser Abtrieb vorausgesetzt sein. Weiter sei
251 hier nicht mehr die Konvergenz des im folgenden geschilderten
252 Verfahrens untersucht. Sie ist in[ 6, insbes. S. 31 ]
253 nachgewiesen. Nach Division des Gleichungssystems durch (Formel) und
254 mit (Formel) folgt (Formel). Explizit und in Matrizenschreibweise hat
255 diese Gl. die Form nach Schema 1. Wie man aus Gl.
256 (11) erkennt, ist in der Koeffizientenmatrix dieses algebraischen
257 Systems für die (Formel) jeder Platz besetzt. Ab hier sei jeweils die
258 numerische Rechnung für ein Beispiel angeschlossen. Für dieses
259 Beispiel mit den folgenden Daten sind verschiedene Näherungen der
260 Lösung dieses Systems berechnet worden. Die Daten sind: (Formel).
261 Die Bezeichnungen durch Großbuchstaben entsprechen den
262 Bezeichnungen in den FORTRAN-Programmen des Anhangs.
263 Zuerst wurden die Funktionen nach Gl. (9) gebildet und
264 analysiert. Das reduzierte Massenträgheitsmoment (Formel) für dieses
265 Beispiel ist in Bild 8 wiedergegeben. Die Analyse der
266 periodischen Koeffizienten nach Gl. (9) bis zur 6.
267 Harmonischen ist in Bild 9 graphisch dargestellt. Man
268 erkennt daraus sofort, daß die Mitnahme nur der ersten
269 Harmonischen, also eine Reduzierung des Problems auf die Lösung
270 von Mathieuschen Differentialgleichungen, nicht zulässig ist.
271 Eine genügend genaue Lösung dürfte bei Berücksichtigung der
272 ersten vier Harmonischen in den periodischen Koeffizienten gefunden
273 werden. In der Systemdeterminante des zu lösenden
274 Gleichungssystems bedeutet dies: Die Mathieusche
275 Differentialgleichung besetzt nur die Hauptdiagonale und die beiden
276 Nebendiagonalen, während bei der Berücksichtigung von vier
277 Harmonischen der periodischen Beiwerte die Hauptdiagonale und auf
278 jeder Seite der Hauptdiagonalen noch vier Nebendiagonalen besetzt
279 sind. Der Unterschied zwischen beiden Lösungen ist in[ 19 ]
280 sehr anschaulich dargestellt. Die Berechnung der Daten bis
281 hierher erfolgte in einem FORTRAN-Hauptprogramm,
282 während weitere Größen durch die entsprechenden Unterprogramme
283 gewonnen wurden; so folgen die Beiwerte in Schema 1 aus dem
284 Koeffizientenschema gemäß den Eulerschen Gleichungen zu (Formel).
285 Diese Größen, die Nennerdeterminante und (Formel) als Funktion vom
286 Frequenzverhältnis *yl wurden schließlich in einem Unterprogamm
287 berechnet.
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