Kant: Briefwechsel, Brief 723, Von Gustav v. Stårck.

Kant: Briefwechsel, Brief 723, Von Gustav v. Stårck.


Von Gustav v. Stårck.

27. Nov. 1796.

Wohlgebohrner Hochgelahrter Herr,
Hochzuverehrender Herr Professor!

Ew Wohlgebohrnen höchstgeehrteste Zuschrifft vom 9ten d M. gereicht
mir zum höchsten Vergnügen und ich versäume nicht den allerverbindlichsten
schuldigsten Danck dafür abzustatten.

Daß ich in dem Ew Wohlgebohrnen unterm 14ten Octob. d. I. ganz
ergebenst vorgelegten mathematischen Aufsatze zu Anfange weitlaüfftiger
war als es gewis nöthig seyn mochte und daß ferner der Schluß ganz
entbehrlich zu seyn scheint, ist wohl die Folge deßen: daß nehmlich
das militairische Fach mir nie Zeit und Gelegenheit ließ, das
Wißen Anderer in der Mathematick zu prüfen und mich mehr daran
zu üben als es in der Schule des würdigsten Officiers des HErrn
Obrist=Leutnant v Rauch vormals in Königsberg jetzt in Potsdam
grade Anwendung auf eben dieses Fach blieb. Dies zeigt sich um
so mehr, da ich auch nur durch mir selbst gedachte geometrische Construction
zu beweisen vermochte.

Wenn übrigens ein Misverstand über das object: quaest: entstanden
ist, so rührt dies vielleicht 1stens daher, daß der größere Theil
etwa in der Meynung steht:

als gebe das Verhältniß der Zahlen 3, 4, 5, unter allen
Zahlen überhaupt nur ein razionales Verhältniß der drey
Seiten eines rechtwincklichten Dreyecks.

2tens aber und hauptsächlich mochten Ew Wohlgebohrne wohl deshalb
meinerseits misverstanden seyn:

weil - wenn man jenes beßer einsieht - es auch gar leicht
zu begreiffen und keinesweges Geheimniß ist:
was es macht, daß das razionale Verhältniß der drey
Seiten eines rechtwincklichten Dreyecks (unter einander unmittelbar
folgenden Zahlen) nur das, der Zahlen 3, 4, 5, seyn kann.

denn: Ein Cathetus (z. B. der kleinere) steht mit der differenz
des andern Catheten und der GLhypothenusa + in einem geometrischen
Verhältniße, unter welchen ein ähnlicher rechtwincklichter
triangel nur statt findet.


Wenn nun in einem triangel von razionalem Verhältniße
(wie ) jene differenz eben dieselbe bleiben soll, der erste
und kleinere Cathetus aber beliebig verändert wird (z. B )

so muß ein anderer jenem triangel nicht mehr ähnlicher, rechtwincklichter
triangel von razionalem Verhältniße entstehn,
und es müßen daher auch die arithmetischen Verhältniße
der drey Seiten nie mehr als in einem einzigen Falle sich ähnlicher
Dreyecke eine arithmetische Progression geben können.
Dieser einzige Fall, wenn er auch nicht bekannt wäre müßte
sogleich wie hier folgend in die Augen fallen.

Denn man hat (nach beygefügter Figur )
die arithmetische Progression ab. ac. bc
also ab + bc = 2ac
Gesetzt gc (als der exponent) sey = 1.,
so ist cd = 2
Wenn nun die differenz der quadrate
dividirt mit der differenz gleich ist der
Summe der Größen,
so ist ac X/2 = ac x 2 und also ac X/4 = ac
mithin ac = 4, ab = 3, bc = 5.
Von Ew Wohlgebohrnen erfahre ich zuerst, daß der Herr Professor
Reimarus (den ich nicht die Ehre habe zu kennen) in seinen
Behauptungen gewißermaaßen mit mir übereinkomme, da nun
aber eben dieselben auch jetzt nicht länger als Wiederspruch der Ihrigen
anzusehn sind, so erwarte ich gehorsamst bittend nur Dero hohe
besondere Zurechtweisung:

in wie weit meine hier mit verpflochtene Beantwortung der eigentlichen
Haupt=Frage gegründet und annehmlich ist.

Um Ew Wohlgebohrnen nun aber auch die Gelegenheit zu geben,
daß Dieselben etwa Dero gütigstes Urtheil über mich zu sprechen geneigt
werden, erdreiste ich mich das Resultat einer mir höchst angenehm
gewesenen Unterhaltung beyliegend größtentheils in Wiederholungen
vorzulegen.

Uebrigens aber läßt Dero Güte und Gerechtigkeits=Liebe mich hoffen,
daß Dieselben meine Zudränglichkeit verzeyhen, indem ich gewiß in der
allervollkommensten Hochachtung zu verharren die Ehre habe

		Ew Wohlgebohrnen
		ganz gehorsamster Diener
Culm den 27ten November 1796.		v. Stårck 1st.

[Beilage.]

Beantwortung
der von HErrn Profeßor Kant entworffenen Frage:

	- Was macht daß das razionale Verhältni
	der drey Seiten eines rechtwincklichten
	Dreyecks nur das der Zahlen
	3, 4, 5 seyn kann? -
	Berlinsche Monaths Schrifft May 1796.

Wenn ein Cathetus und die differenz des andern Catheten und der hypothenusa
- welche wie bekannt kleiner seyn muß als jener Cathetus - beliebig
gewählt und, so findet man jederzeit ein anderes razionales Verhältniß der Seiten
als das der Zahlen 3, 4, 5.

Denn das quadrat der gegebenen Catheten oder die differenz der quadrate
der beyden andern Seiten mit der gegebenen differenz derselben dividirt giebt wie
bekannt die Summe der beyden andern Seiten und man findet demnach jede
Seite aus gedachter Summe und differenz derselben. Es giebt also unendlich
viel verschiedene razionale Verhältniße der drey Seiten eines rechtwincklichten
Dreyecks!



Daß dieses Verhältnis aber unter denen einander
in natürlicher Ordnung unmittelbar folgenden
Zahlen nur allein das der Zahlen 3, 4, 5
seyn kann ist klar:

Denn man hat nach beygefügter Figur die
arithmetische Progression ab. ac. bc also ab + bc
= 2 ac
ferner ist gc = 1 und cd = 2
Wenn nun die differenz der quadrate dividirt
mit der differenz gleich ist der Summe der
Größen, so ist ac X/2 = ac x 2 und also ac X/4 = ac
mithin ac = 4, ab = 3 und bc = 5.

Culm den 27ten November 1796.	v. Stårck
	Staabs Capitaine des
	Infanterie Regts. v. Mosch



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