§ 12. Um nun die Unterordnung der Begriffe und andere wichtige Beziehungen bezeichnen zu können, führe ich die Function mit zwei Argumenten durch die Bestimmung ein, dass ihr Werth das Falsche sein soll, wenn als ζ-Argument das Wahre und als ξ-Argument irgendein Gegenstand genommen wird, der nicht das Wahre ist; dass in allen andern Fällen der Functionswerth das Wahre sein soll. Nach dieser und den früheren Festsetzungen ist der Werth dieser Function auch für Werthverläufe als Argumente bestimmt. Es folgt, dass dasselbe ist wie

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und wir können daher in den wagerechten Strich vor ‚Δ‘ sowie die beiden Theile, in die der obere wagerechte Strich durch den senkrechten zerlegt wird, als Wagerechte in unserm besondern Sinne auffassen. Wir sprechen hier wie früher von der Verschmelzung der Wagerechten. Den senkrechten Strich nenne ich Bedingungstrich. Er kann nach Bedürfniss verlängert werden.  Es gelten die Sätze

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Die Function oder hat als Werth immer das Wahre, wenn die Function als Werth das Falsche Ersetzung von - das Wahre - durch - das Falsche - [Rev.: frege]^# hat und umgekehrt. Also ist
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dann und nur dann das Wahre, wenn Δ das Wahre und Γ nicht das Wahre ist. Folglich

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in Worten: 2 ist nicht grösser als 3 und die Summe von 2 und 3 ist 5.

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in Worten: 3 ist grösser als 2 und die Summe von 2 und 3 ist 5. ist nämlich der Werth der Function für das ξ-Argument und das ζ-Argument 2+3=5.

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in Worten: weder ist die dritte Potenz von 2 die zweite Potenz von 3, noch ist die zweite Potenz von 1 die erste Potenz von 2.   Statt der Sätze

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hat man die folgenden

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Da nun der Wahrheitswerth davon ist, dass weder das Quadrat von 1 grösser als 3, noch 1 kleiner als 3 sei, so wird durch unsern letzten Satz dies verneint, also behauptet, mindestens eins von beiden sei wahr, dass das Quadrat von 1 grösser als 3 oder dass 1 kleiner als 3 sei. Man sieht aus diesen Beispielen, wie das ‚und‘ der Sprache, wenn es Sätze verbindet, das ‚weder — noch‘ und das ‚oder‘ zwischen Sätzen wiedergegeben werden.  In kann für ‚ξ‘ irgendein Eigenname eingesetzt werden, also auch z. B. . Wir erhalten so

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wo wir nun die Wagerechten verschmelzen können:

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Dies bedeutet das Falsche, wenn Δ das Wahre und nicht das Wahre ist; d. h. in diesem Falle, wenn das Falsche ist. Das ist aber dann und nur dann der Fall, wenn Λ das Wahre und Θ nicht das Wahre ist. Demnach ist das Falsche, wenn Δ und Λ das Wahre sind, während Θ nicht das Wahre ist; in allen andern Fällen ist es das Wahre. Hieraus folgt die Vertauschbarkeit von Λ und Δ: es ist derselbe Wahrheitswerth wie

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Es mögen in ‚—Θ‘ Oberglied, ‚—Δ‘ und ‚—Λ‘ Unterglieder heissen. Wir können aber auch als Oberglied und ‚—Λ‘ allein als Unterglied auffassen. Die Unterglieder sind demnach vertauschbar. Ebenso erkennt man, dass dann und nur dann das Falsche ist, wenn sowohl Λ, als auch Δ, als auch Ξ das Wahre ist, während Θ nicht das Wahre ist. In allen andern Fällen ist es das Wahre. Wir haben auch hier wieder die Vertauschbarkeit der Unterglieder ‚—Λ‘, ‚—Δ‘, ‚—Ξ‘. Diese Vertauschbarkeit muss eigentlich für jeden vorkommenden Fall nachgewiesen werden, und ich habe dies in meinem Büchlein „Begriffsschrift“ für einige Fälle gethan, sodass es leicht sein wird, danach jeden Fall zu Ersetzung von - zn - durch - zu - [Fehlertyp: orth | Rev.: frege]^# behandeln. Um nicht in zu grosse Weitläufigkeiten verstrickt zu werden, will ich hier diese Vertauschbarkeit als allgemein zugestanden annehmen und in Zukunft ohne weitere Erinnerung davon Gebrauch machen.
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ist dann und nur dann das Wahre, wenn sowohl Λ, als auch Δ, als auch Ξ das Wahre ist, während Θ nicht das Wahre ist. Demnach

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in Worten: 3 ist nicht kleiner als 2 und 1 ist kleiner als 2 und 3 ist grösser als 2 und 4 ist grösser als 2;

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in Worten: 1 ist kleiner als 2 und 3 ist grösser als 2 und 4 ist grösser als 2. Man kann sich dies so zerlegt denken Die Verneinungsstriche zwischen den Bedingungsstrichen heben sich und die Wagerechten lassen sich verschmelzen. Wir haben in den Werth der Function für das ξ-Argument und das ζ-Argument 4>2, wo nun der Werth derselben Function für das ξ-Argument 1<2 und das ζ-Argument 3>2 ist.